Moyenne Mobile Brownienne

Approximation forte du mouvement brownien fractionnaire par des moyennes mobiles de randonnées aléatoires simples Paacutel Reacuteveacutesz à l'occasion de son 65e anniversaire Tamaacutes Szabados Département de Mathématiques, Université Technique de Budapest, Egry u 20-22, H eacutep. V em. Budapest, 1521, Hongrie Le mouvement brownien fractionnaire est une généralisation du mouvement brownien ordinaire, utilisé en particulier lorsque la dépendance à longue distance est nécessaire. Son introduction explicite est due à Mandelbrot et van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) comme un processus gaussien auto-similaire W (H) (t) avec des incréments stationnaires. Ici, l'auto-similitude signifie cela. Où H isin (0,1) est le paramètre de Hurst du mouvement brownien fractionnaire. F. B. Knight a donné une construction du mouvement brownien ordinaire comme une limite de randonnées aléatoires simples en 1961. Plus tard, sa méthode a été simplifiée par Reacuteveacutesz (randonnée aléatoire dans les environnements aléatoires et non-aléatoires, World Scientific, Singapour, 1990), puis par Szabados (Studia Sci , Math. Hung, 31 (1996) 249ndash297). Cette approche est tout à fait naturelle et élémentaire, et en tant que telle, elle peut être étendue à des situations plus générales. Sur cette base, nous utilisons ici des moyennes mobiles d'une séquence imbriquée appropriée de randonnées aléatoires simples qui convergent presque sûrement uniformément vers un mouvement brownien fractionnaire sur des compacts quand. Le taux de convergence prouvé dans ce cas est. Où N est le nombre d'étapes utilisées pour l'approximation. Si le plus précis (mais aussi plus compliqué) Komloacutes et al. (1975, 1976) est plutôt utilisée pour intégrer des marches aléatoires dans le mouvement brownien ordinaire, alors le même type de moyennes mobiles converge presque sûrement uniformément vers un mouvement brownien fractionnaire sur des compacts pour toute H isin (0,1). De plus, on conjecture que le taux de convergence est le meilleur possible. Mais seulement ici. Le mouvement brownien fractionnaire (fBM) est une généralisation du mouvement brownien ordinaire (BM) utilisé en particulier lorsque la dépendance à long terme est essentielle. Bien que l'histoire de la FMB remonte à Kolmogorov (1940) et d'autres, son introduction explicite est due à Mandelbrot et van Ness (1968). Leur intention était de définir une auto-similaire. (T) (t0) avec des incréments stationnaires mais non indépendants et avec des trajets d'échantillonnage continus a. s. Ici, l'auto-similitude signifie que pour tout a gt0, où H isin (0,1) est le paramètre de Hurst de la fBM et désigne l'égalité dans la distribution. Ils ont montré que ces propriétés caractérisent fBM. Le cas se réduit à BM ordinaire avec des incréments indépendants, alors que les cas (resp.) Donnent des incréments corrélatifs négatifs (respectivement positivement) voir Mandelbrot et van Ness (1968). Il semble que dans les applications de fBM, le cas est le plus souvent utilisé. Mandelbrot et van Ness (1968) ont donné la représentation explicite suivante de fBM comme moyenne mobile de BM ordinaire, mais à deux faces: où t 0 et (x) max (x, 0). L'idée de (2) est liée au calcul fractionnaire déterministe. Qui a une histoire encore plus longue que la fBM, revenant à Liouville, Riemann, et d'autres voir dans Samko et al. (1993). Son cas le plus simple est quand une fonction continue f et un entier positif sont donnés. Alors une induction avec intégration par parties peut montrer que c'est l'ordre itéré antiderivatif (ou intégrale d'ordre) de f. D'autre part, cette intégrale est bien définie pour des valeurs positives non-entières aussi bien, auquel cas elle peut être appelée une intégrale fractionnaire de f. Ainsi, de façon heuristique, la partie principale de (2) est l'intégrale d'ordre du processus de bruit blanc W (en sens ordinaire non existant) W (t). Ainsi, on peut considérer la FBM W (H) (t) comme une modification d'incrément stationnaire de l'intégrale fractionnaire W (t) du processus du bruit blanc, où: Moyennes mobiles gaussiennes, semimartingales et prix des options Nous fournissons une caractérisation du Gaussien Avec des incréments stationnaires qui peuvent être représentés comme une moyenne mobile par rapport à un mouvement brownien à deux faces. Pour un tel procédé, nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour être une semimartingale par rapport à la filtration engendrée par le mouvement brownien bilatéral. De plus, nous montrons que cette condition implique que le processus est soit de variation finie, soit un multiple d'un mouvement brownien par rapport à une mesure de probabilité équivalente. En tant qu'application, nous discutons du problème de la tarification des options dans les modèles financiers pilotés par des moyennes mobiles gaussiennes à incréments stationnaires. En particulier, nous dérivons les prix des options dans une version fractionnée régularisée du modèle BlackndashScholes. Processus gaussiens Moyenne mobile moyenne Semimartingales Mesures équivalentes de la martingale Prix des options 1. Introduction Soit un espace de probabilité équipé d'un mouvement brownien bilatéral. C'est-à-dire un processus Gaussien centré continu avec covariance Pour une fonction qui est nulle sur l'axe réel négatif et satisfait pour tout t gt0, on peut définir le processus Gaussien centré avec des incréments stationnaires. Le formulaire (1.1) en vue de la modélisation financière. Si (X t) t 0 est un processus stochastique sur. Nous désignons par la plus petite filtration qui satisfait aux hypothèses habituelles et contient la filtration Par nous désignons la plus petite filtration qui satisfait les hypothèses habituelles et contient la filtration La structure du papier est comme suit. Dans la section 2 nous rappelons un résultat de Karhunen (1950). Qui donne les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un processus stationnaire Gaussien centré soit représentable sous la forme où. Dans la section 3 nous donnons une caractérisation de ces processus de la forme (1.1) qui sont - semimartingales et nous montrons qu'ils sont des processus de variation finie, ou pour tout T isin (0, infin), il existe une mesure de probabilité équivalente sous laquelle (Y t) t isin0, T est un multiple d'un mouvement brownien. Dans la section 4, nous appliquons une transformation introduite dans Masani (1972) pour établir une correspondance biunivoque entre les processus gaussiens centrés stationnaires et les processus gaussiens centrés avec des incréments stationnaires qui sont zéro pour t 0. Cela nous permet d'étendre le résultat de Karhunens à centré Gaussien avec des incréments stationnaires et pour montrer que chaque processus de la forme (1.1) peut être approché par semimartingales de la forme (1.1). En transférant les résultats de la section 3 dans le cadre des processus Gaussiens stationnaires centrés, nous obtenons une extension du théorème 6.5 de Knight (1992). Ce qui donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un processus de la forme (1.2) soit une - semimartingale. Dans la section 5, nous discutons du problème de la tarification des options dans les modèles financiers pilotés par les processus de la forme (1.1). A titre d'exemple, nous évaluons une option d'achat européenne dans un modèle fractionnaire régulé de BlackndashScholes. Références 1 Cheridito, P. (2001). Régularisation du mouvement brownien fractionnaire en vue de la modélisation des prix des actions. doctorat Thèse, ETH Zurich. 2 Cherny, A. S. (2007). Modèle général d'évaluation des arbitrages: Coûts de transaction. Dans SxE9minaire de ProbabilitxE9s XL. Notes de cours en mathématiques 1899 447x2013462. Springer, Berlin. 3 Cvitanix107, J. Pham, H. et Touzi, N. (1999). Une solution fermée au problème de la super-réplication sous les coûts de transaction. Finance et Stochastique 3 35x201354. 4 Guasoni, P. RxE1sonyi, M. et Schachermayer, W. (2008). Des systèmes de prix cohérents et des prix de lifting des coûts de transaction. Ann. Appl. Probab. 18 491x2013520. 5 Kabanov, Yu. M. et Stricker, C. (2007). Sur les sélecteurs de martingale des procédés à cônes. Preprint. 6 Levental, S. et Skorokhod, A. V. (1997). 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